En Kicik Kvadratlar Usulu - Wikipedia

Ən kiçik kvadratlar üsulunun mahiyyəti onun adından göründüyü kimi ölçmə nəticəsində əldə olunan qiymətlər və gözlənilən qiymətlər arasındakı fərqin (xətanın) kvadratının minimal olmasına əsaslanır. Yaxınlaşma zamanı funksiyanın modelini elə seçirlər ki, onun verdiyi qiymətlər ilə ölçmə nəticəsində alınmış qiymətlər arasında olan fərqlər kvadratlarının cəmi də minimum olsun.

Tutaq ki, ${\displaystyle x}$  — ${\displaystyle m}$  naməlum parametrlərin toplumdur,${\displaystyle f_{i}(x)}$ , ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ , ${\displaystyle n>m}$  isə bu toplumların funksiyalar cəmidir. Məslənin həlli ona gətirilir ki, x-in qiymətlərinin təyini zamanı bu funksiyaların qiymətləri ${\displaystyle y_{i}}$ -in verilən qiymətlərinə yaxın olsun. Əslində ${\displaystyle f_{i}(x)=y_{i}}$ , ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$  tənliklər sisteminin elə həlli axtraılır ki, onun sağ və sol tərəfləri maksimal yaxınlaşsınlar. Ən kiçik kvadratlar üsulu ona gətirir ki, sağ və sol tərələrinin arasındakı meyillənmənin kvadratlarının ${\displaystyle |f_{i}(x)-y_{i}|}$  yaxınlaşması baş versin. Beləliklə ən kiçik kvadratlar üsulunu aşağıdakı şəkildə yazmaq olar:

${\displaystyle \sum _{i}e_{i}^{2}=\sum _{i}(y_{i}-f_{i}(x))^{2}\rightarrow \min _{x}}$ .

Tənliklər siiseminin həlli varsa, kvadatların cəmi sıfıra bərabr olacaq və tənliklər sistemlərinin həlli analitik və ya ədədi üsullarla aparıla bilər. Əgər sistem təyin olunandırsa, yəni asılı olmayan tənliklərin sayı axtarılan dəyişənlərin sayından çoxdursa, onda sistemin dəqiq həlli mövcud deyil. Bu halda ən kiçik kvadratlar üsulu y və f(x) vektorlarnın maksimal yaxnlaşması və meyillənmənin (e) sıfıra yaxınlaşmasına imkan verən hər hansı optimal x-vektorunun tapılmasına imkan yaradır.

• Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений. — 2-е изд. — М., 1962. (математическая теория)